Intégration numérique des Systèmes d'Équations différentielles
Ici, on résout numériquement des systèmes de quatre équations différentielles du premier ordre au maximum.
Pour cela, le problème doit être formulé comme un problème de Cauchy sous la forme suivante:
y•(t) = f(t,y(t)) mit y(0)=y0
Le vecteur y(t) contient les solutions y1(t), y2(t), ... .
Le vecteur y(0) contient les valeurs initiales des solutions recherchées.
La solution est déterminée en fonction de la variable indépendante t pour 0 ≤ t ≤ tFin.
La solution est présentée graphiquement sous forme de courbe de fonction et, en option, sous forme de tableau de valeurs.
Les méthodes utilisées sont des méthodes explicites à un pas, dont l'une, avec contrôle du pas, donne les meilleurs résultats.
Même une équation différentielle d'ordre n (ici n ≤ 4) peut être résolue en la transformant d'abord en un système de n équations différentielles du premier ordre.
À cette fin, n-1 variables auxiliaires sont introduites pour y• à y(n-1) et, comme n-ième équation, l'équation différentielle
résolue pour sa dérivée d'ordre le plus élevé y(n).
L'équation différentielle du second ordre a(t)y•• + b(t)y• + c(t)y = f(t) peut être résolue en créant le système suivant:
y1• = y2
y2• = (f(t) - b(t) y2 - c(t) y1)/a(t)
y1(t) est alors la solution recherchée y(t) et y2(t) est la première dérivée correspondante.
Exemples
Exemple 1 : Oscillation libre non amortie
Exemple 2 : Oscillation libre amortie
Exemple 3 : Oscillation amortie forcée avec une excitation supérieure à la fréquence de résonance
Exemple 4 : Oscillation non amortie forcée avec une excitation à la résonance
Exemple 5 : Réponse transitoire avec une fréquence d’excitation supérieure à la fréquence de résonance
Exemple 6 : Réponse transitoire avec une fréquence d’excitation inférieure à la fréquence de résonance
Exemple 7 : Oscillation amortie forcée harmoniquement avec une brève perturbation de l’excitation à 20 s (réactivation de la solution homogène)
Exemple 8 : Oscillation amortie forcée avec deux fréquences d’excitation différentes
Exemple 9 : Réponse transitoire dans le cas limite apériodique
Exemple 10 : Oscillation libre non linéaire (pendule à grandes amplitudes)
Exemple 11 : Oscillation libre non linéaire (amortissement par frottement)
Exemple 12 : Oscillation libre non linéaire, oscillateur à flottement (force de rappel non linéaire)
Exemple 13 : Oscillation libre non linéaire (force de rappel proportionnelle au carré du déplacement)
Exemple 14 : Équation différentielle du troisième ordre avec excitation par impulsion (via une impulsion rectangulaire courte)
Exemple 15 : Équation différentielle du quatrième ordre avec excitation par impulsion (via une condition initiale)
Exemple 16 : Impact élastiquement amorti d'une masse en mouvement sur une masse stationnaire
Exemple 17 : Réponse impulsionnelle d'un oscillateur à deux masses amorti et non contraint
Exemple 18 : Modèle prédateur-proie (équations de Lotka-Volterra)