Cercle de Mohr et Contraintes Principales

Pour la condition de contrainte tridimensionnelle générale, qui est déterminée par 6 valeurs de contrainte, les contraintes principales et les directions principales sont déterminées.
Les 3 principales contraintes normales σ₁, σ₂, σ₃ sont les valeurs propres du tenseur de contraintes S:

σ_x	τ_xy	τ_xz
τ_yx	σ_y	τ_yz
τ_zx	τ_zy	σ_z

Les contraintes principales et tricercles de Mohr sont représentés graphiquement.
Dans la zone ombrée entre les cercles, y compris la circonférence du cercle, toutes les paires possibles de contrainte normal et de contrainte cisaillement (σ,τ) sont présentes, ce qui cause l'état de contrainte indiqué.
Les 3 points rouges se réfèrent aux contraintes spécifiées par rapport au système de coordonnées x,y,z.
Les points jaunes marquent les contraintes principales. Les directions correspondantes sont les directions pour lesquelles il n'y a pas de contrainte cisaillement.

Pour l'état de contrainte à deux dimensions (σ_z = 0, τ_yz = 0, τ_zx = 0) vous pouvez dessiner un cercle dans lequel les deux points rouges (σ_x, τ_xy) et (σ_y, -τ_xy) de l'état de contrainte donné sont opposés à la périphérie du cercle.
Le centre du cercle se situe sur l'axe σ à ((σ_x+σ_y)/2, 0).
Deux tensions normales principales peuvent être facilement déterminées directement à partir des données de tension fournies:
σ_1,2 = (σ_x+σ_y)/2 ± (τ_xy²+(σ_x-σ_y)²/4)^1/2
L'une des trois contraintes normales principales est toujours nulle ici, et la direction de contrainte normale principale correspondante est la direction z.
Cela donne un troisième point jaune à (0, 0).

Dans l'état de contrainte tridimensionnel il y a généralement deux contraintes cisaillements dans des directions spatiales mutuellement perpendiculaires dans chaque surface de coupe imaginaire.
Pour leur représentation ils doivent être résumés dans une contrainte de cisaillement résultante. Les signes sont perdus. Ainsi, contrairement au piège à deux axes, il n'y a pas de points en dessous de l'axe σ.
De plus, les trois points rouges (σ_x, (τ_xy² + τ_xz²)^1/2), (σ_y, (τ_yx²+τ_yz²)^1/2) et (σ_z, (τ_zx²+τ_zy²)^1/2) ne sont plus nécessairement à la périphérie du cercle mais peut également être dans la zone ombrée entre les cercles.

Si un vecteur de direction est spécifié en plus des 6 contraintes, la contrainte normale σ_n et la contrainte de cisaillement τ_n associées à cette direction sont calculées.
Pour un vecteur direction normalisé n et le tenseur de contrainte S on obtient:
σ_n = n^T S n
|τ_n| = (n^TS^T S n - σ_n²)^1/2.

Exemple de calcul

L'état de contrainte suivant est donné:
σ_x = 1
σ_y = 2
σ_z = 1
τ_xy = 1
τ_yz = 1
τ_xz = 0

Cela conduit au tenseur des contraintes S

1	1	0
1	2	1
0	1	1

Le polynôme caractéristique de la matrice correspondante est déterminé comme solution de l'équation
det(S - λ I) = 0.

Le déterminant ici est spécifique

| 1-λ  1   0  |
| 1  2-λ  1  |
| 0   1  1-λ |

Le développement du déterminant donne le polynôme caractéristique:
λ³ - 4 λ² + 3 λ.

Les zéros de ce polynôme caractéristique sont les trois contraintes normales principales:
σ₁ = 3
σ₂ = 1
σ₃ = 0

Nous devons maintenant déterminer la contrainte normale et la contrainte tangentielle pour une surface de normale (1,1,1)^T.

Le vecteur normalisé et transposé est alors n^T = (1,1,1)/√3
De plus, vous obtenez:
n^T S = (2, 4, 2)/√3
et donc
σ_n = n^T S n = 8/3
et
|τ_n| = (n^TS^T S n - σ_n²)^1/2 = (24/3 - 64/9)^1/2 = (8/9)^1/2 = 0.9428

Importance des contraintes normales principales

Un problème lié aux calculs de contraintes, par exemple par la méthode des éléments finis (MEF), est que, dans le cas tridimensionnel, six contraintes apparaissent en chaque point.
Ces six valeurs de contrainte dépendent également du choix du système de coordonnées global.

Si l'on calcule les contraintes normales principales, on ne considère que trois valeurs numériques,
et celles-ci sont indépendantes du choix du système de coordonnées global.
Trois valeurs de contrainte restent toutefois trop nombreuses pour une comparaison avec les valeurs maximales admissibles du matériau.

Pour clarifier la question de l'admissibilité, il est nécessaire de formuler des hypothèses de défaillance qui caractérisent le matériau concerné.

Par exemple, l'hypothèse de l'énergie de distorsion maximale stipule que la tension équivalente suivante doit être calculée à partir des 3 tensions normales principales pour comparaison avec les valeurs admissibles:

σ_v = ( ( (σ₁-σ₂)² + (σ₂-σ₃)² + (σ₃-σ₁)²)/2)^1/2.

Autrement dit, seule l'hypothèse de défaillance condense les informations sur les contraintes en un paramètre numérique unique, adapté à la comparaison avec les valeurs admissibles.

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