Circulo de Mohr y tensiones principales
Para el estatdo tensional tridimensional, la cual está determinada por 6 valores de tensión,
aquí se determinan las tensiones principales y las direcciones principales.
Los 3 tensiones principales σ1, σ2, σ3 son los valores propios del tensor de tensiones S:
| σx | τxy | τxz |
| τyx | σy | τyz |
| τzx | τzy | σz |
Los tensiones principales y los circulos de Mohr se muestran gráficamente.
En el área sombreada entre los círculos, incluyendo la circunferencia de los círculos, están presentes todos los pares posibles de tensión normal y tensión cortante (σ, τ),
lo que causa el estado de tensión indicado.
Los 3 puntos rojos se refrieren a las tensiones especificadas con respecto al sistema de coordenadas x, y, z.
Los puntos amarillos marcan los tensiones principales. Las direcciones correspondientes son direcciones para las que no existe una tensión cortante correspondiente.
Para el estado de tensión bidimensional (σz=0, τyz=0, τzx=0) se puede dibujar un círculo en el que los dos puntos rojos (σx, τxy) y (σy, -τxy)
del estado de tensión dado están opuestos en la periferia del círculo.
Se pueden determinar fácilmente dos voltajes normales principales directamente a partir de los datos de voltaje dados:
σ1,2 = (σx+σy)/2 ± (τxy2+(σx-σy)2/4)1/2
Una de las tres tensiones principales siempre es 0 y la dirección de tensión principal asociada es la dirección z.
En el estado tensional tridimensional generalmente existen dos tensiones cortantes en direcciones espaciales perpendiculares mutuamente en cada superficie.
Para su representación deben ser combinados en un tensión resultante. Entonces los signos se pierden. Así, a diferencia de la trampa de dos ejes, no hay puntos por debajo del eje σ.
Además, los tres puntos rojos (σx, (τxy2+τxz2)1/2),
(σy, (τyx2+τyz2)1/2) y
(σz, (τzx2+τzy2)1/2)
ya no están necesariamente en una periferia circular pero también pueden estar en el área sombreada entre los círculos.
Para un vector de dirección normalizado n, la tensión normal σn y la tensión cortante τn se pueden calcular:
σn = nT S n
|τn| = (nTST S n - σn2)1/2.
Ejemplo de cálculo
Se da el siguiente estado de tensión:
σx = 1
σy = 2
σz = 1
τxy = 1
τyz = 1
τxz = 0
Esto conduce al tensor de tensión S
Se determina el polinomio característico de la matriz correspondiente como solución de la ecuación
det(S - λ I) = 0.
El determinante aquí es concreto
| 1-λ 1 0 |
| 1 2-λ 1 |
| 0 1 1-λ |
La expansión del determinante produce el polinomio característico:
λ3 - 4 λ2 + 3 λ.
Los ceros de este polinomio característico son las tres tensiones normales principales:
σ1 = 3
σ2 = 1
σ3 = 0
Buscamos la tensión normal y la tensión tangencial para una superficie con normal (1,1,1)T.
El vector normalizado y transpuesto es entonces nT = (1,1,1)/√3
Además, obtenemos:
nT S = (2, 4, 2)/√3
y por lo tanto
σn = nT S n = 8/3
y
|τn| = (nTST S n - σn2)1/2 = (24/3 - 64/9)1/2 = (8/9)1/2 = 0.9428
Importancia de las Tensiones Normales Principales
Un problema con los cálculos de tensiones, por ejemplo, mediante el MEF, es que en el caso tridimensional se producen 6 tensiones en cada punto.
Estos 6 valores de tensión también dependen de la elección del sistema de coordenadas global correspondiente.
Si ahora se calculan las tensiones normales principales, solo se tienen que manejar 3 valores numéricos, que son independientes de la elección del sistema de coordenadas global correspondiente.
Tres valores de tensión son demasiados para compararlos con los valores máximos admisibles para el material correspondiente.
Para aclarar la cuestión de la admisibilidad, se necesitan hipótesis de fallo que caractericen el material correspondiente.
Por ejemplo, la hipótesis de energía de distorsión máxima establece que la siguiente tensión equivalente puede derivarse de las 3 tensiones normales principales.
Para comparar con los valores admisibles, se debe calcular lo siguiente:
σv = ( ( (σ1-σ2)2 + (σ2-σ3)2 + (σ3-σ1)2)/2 )1/2.
Es decir, sólo la hipótesis de fallo condensa la información del estrés en un parámetro de un solo número que es adecuado para la comparación con los valores admisibles.
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