Mohrscher Spannungskreis und Hauptnormalspannungen

Für den allgemeinen 3-dimensionalen Spannungszustand, der durch 6 Spannungsangaben bestimmt ist, werden die Hauptnormalspannungen und die Hauptnormalspannungsrichtungen bestimmt.
Die Hauptnormalspannungen und die Mohrschen Spannungskreise werden grafisch dargestellt.
Die Mohrschen Spannungskreise und alle relevanten Spannungsinformationen werden in einer σ,τ-Ebene dargestellt.
Die gelben Punkte markieren die Hauptnormalspannungen σ1, σ2, σ3.
Die zugehörigen Richtungen sind Richtungen, unter denen die zugehörige Schubspannung verschwindet.

Im schattierten Bereich zwischen den Kreisen, einschließlich der Kreisperipherie, liegen alle möglichen Paare von Normalspannung und Schubspannung (σ, τ), die der angegebene Spannungszustand hervorruft.
Die 3 roten Punkte (σx, (τxy2+τxz2)1/2), (σy, (τyz2+τyx2)1/2) und (σz, (τzx2+τzy2)1/2) errechnen sich aus den angegeben Spannungen bezogen auf das xyz-Koordinatensystem.
Sie beschreiben den Spannungszustand aus Sicht eines kleinen Quaders, der nach dem xyz-Koordinatensystem ausgerichtet ist.

Beim zweiachsigen Spannungszustand (σz=0, τyz=0, τzx=0) kann man einen Kreis zeichnen, bei dem die beiden roten Punkte (σx, τxy) und (σy, -τxy) des gegebenen Spannungszustandes einander gegenüber auf der Peripherie des Kreises liegen.
Der Mittelpunkt des Kreises liegt auf der σ-Achse bei ((σx+σy)/2, 0).
Zwei Hauptnormalspannungen kann man einfach direckt aus den gegebenen Spannungsangaben bestimmen:
σ1,2 = (σx+σy)/2 ± (τxy2+(σx-σy)2/4)1/2
Eine der drei Hauptnormalspannungen ist hier stets 0 und die zugehörige Hauptnormalspannungsrichtung ist die z-Richtung.
Das liefert einen dritten gelben Punkt bei (0, 0).

Beim dreiachsigen Spannungszustand existieren im Allgemeinen auf einer jeden Schnittfläche 2 Schubspannungen in zueinander senkrechten Raumrichtungen. Für deren Darstellung muss man sie zu einer resultierenden Schubspannung zusammenfassen. Dabei gehen Vorzeichen verloren. Somit hat man hier, anders als im zweiachsigen Falle, keine Punkte unterhalb der σ-Achse.
Ferner liegen die 3 roten Punkte (σx, (τxy2+τxz2)1/2), (σy, (τyz2+τyx2)1/2) und (σz, (τzx2+τzy2)1/2) des Spannungszustandes jetzt nicht mehr unbedingt auf einer Kreisperipherie sondern können auch im schattierten Bereich zwischen den Kreisen liegen.

Errechnet werden die 3 Hauptnormalspannungen als Eigenwerte des Spannungstensors S, der folgendermaßen belegt ist:
σx τxy τxz
τyx σy τyz
τzx τzy σz

Wird außer den 6 Spannungen auch ein Richtungsvektor angegeben, werden die zu dieser Richtung zugehörige Normalspannung und Schubspannung berechnet.
Für einen normierten Richtungsvektor n und Spannungstensor S gilt:
σn = nT S n
|τn| = (nTST S n - σn2)1/2.
 

Rechenbeispiel

Der folgende Spanungszustand sei gegeben:
σx = 1
σy = 2
σz = 1
τxy = 1
τyz = 1
τxz = 0

Das führt auf den Spannungstensor S
1 1 0
1 2 1
0 1 1
Das charakteristische Polynom der zugehörigen Matrix bestimmt man als Lösungen der Gleichung
det(S - λ I) = 0.

Die Determinante ist hier konkret

| 1-λ  1   0  |
|  1  2-λ  1  |
|  0   1  1-λ |

Die Entwicklung der Determinante liefert das charakteristische Polynom:
λ3 - 4 λ2 + 3 λ.

Die Nullstellen dieses charakteristischen Polynoms sind die drei Hauptnormalspannungen:
σ1 = 3
σ2 = 1
σ3 = 0

Gesucht sei nun die Normalspannung und Tangentialspannung für eine Fläche mit Normale (1,1,1)T.

Der normierte und transponierte Vektor ist dann nT = (1,1,1)/√3
Ferner erhält man:
nT S = (2, 4, 2)/√3
und damit
σn = nT S n = 8/3
und
|τn| = (nTST S n - σn2)1/2 = (24/3 - 64/9)1/2 = (8/9)1/2 = 0.9428

Bedeutung der Hauptnormalspannungen

Ein Problem bei Spannungberechnungen z.B. mit Hilfe von FEM ist, dass im 3-dimensionalen Falle punktweise 6 Spannungen anfallen.
Die 6 Spannungswerte hängen zusätzlich noch von der Wahl des jeweilgen globalen Koordinatensystems ab.

Berechnet man nun die Hauptnormalspannungen, hat man es nur noch mit 3 Zahlenwerten zu tun und
diese sind unabhängig von der Wahl des jeweiligen globalen Koordiantensystems.
3 Spannungsangaben sind zum Abgleich mit zulässigen Maximalwerten für das jeweilige Material immer noch zu viel.

Um die Frage der Zulässigkeit zu klären benötigt man Versagenshypothesen, die das jeweilige Material charakterisieren.

So besagt z.B. die Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie, dass man aus den 3 Hauptnormalsapnnungen folgende Vergleichsspannung zum Abgleich mit zulässigen Werten errechnen muss:

σv = ( ( (σ1-σ2)2 + (σ2-σ3)2 + (σ3-σ1)2)/2)1/2.

D.h. erst die Versagenshypothese verdichtet die Spannungsinformationen zu einem Einzahlkennwert, der zum Abgleich mit zulässigen Werten geeignet ist.


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