Polynôme Caractéristique et de Valeurs Propres
Pour les matrices réelles, le polynôme caractéristique et les valeurs propres sont déterminés ici.
Le problème des valeurs propres d'une matrice A est donné par :
A x = λ x.
Le polynôme caractéristique de A est déterminé à l'aide du déterminant
det (A - λ I).
Dans cette matrice, I est la matrice identité.
Le polynôme caractéristique est un polynôme en λ de degré n si A est d'ordre n×n.
Les racines de ce polynôme caractéristique de la matrice A sont les valeurs propres λi de la matrice A.
Le polynôme caractéristique est construit ici, et toutes ses racines réelles et complexes sont déterminées.
Le polynôme caractéristique est construit à l'aide de l'algorithme de Faddejew-Leverrier.
Pour les matrices symétriques, les valeurs propres sont toujours réelles.
Pour les matrices non symétriques, des valeurs propres complexes peuvent également apparaître.
Celles-ci existent sous forme de paires de valeurs propres complexes conjuguées.
Explication de la représentation graphique
Les valeurs propres de la matrice sont représentées par des points noirs dans le plan complexe.
De plus, des cercles rouges servent d'estimation approximative de la position des valeurs propres.
Cette estimation est inutile pour les matrices triangulaires.
Pour les matrices triangulaires, les valeurs propres peuvent être lues directement sur la diagonale principale.
D'après l'estimation des valeurs propres de Gershgorin, il existe dans le plan complexe des disques dont l'union contient toutes les valeurs propres d'une matrice.
Les centres de ces disques correspondent aux éléments diagonaux de la matrice.
Les rayons des disques sont déterminés par la somme des valeurs absolues des éléments restants des lignes correspondantes.
On peut également calculer leur rayon en additionnant les valeurs absolues des éléments restants des colonnes correspondantes.
Exemple de calcul
Pour la matrice
⌈ 3 3 ⌉
⌊ 1 5 ⌋
le déterminant permettant de déterminer le polynôme caractéristique est
| 3-λ 3 |
| 1 5-λ |
L'évaluation du déterminant donne :
(3 - λ)·(5 - λ) - 3.
En développant cette expression, on obtient le polynôme caractéristique de la matrice :
λ2 - 8λ + 12.
Le polynôme caractéristique possède alors les zéros
λ1,2 = 4 ± 2.
Les deux valeurs propres de la matrice sont donc
λ1 = 2
λ2 = 6
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