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Feder-Masse-Systeme
Das Programm berechnet für Systeme, die aus mehreren über Federn gekoppelter Massen bestehen,
die Eigenfrequenzen und Eigenformen der freien Schwingungen und visualisiert die freien Schwingungen.
Die Massen sind jeweils Massepunkte, d.h. sie haben kein Massenträgheitsmoment.
Weil jeder Massepunkt in der Ebene grundsätzlich zwei Bewegungsfreiheitsgrade hat, hat ein
System mit n Massepunkten maximal 2*n Bewegungsfreiheitsgrade.
Durch Lagerung bzw. Fesselung verliert das System eine bestimmte Anzahl seiner Freiheitsgrade.
Die Anzahl der errechenbaren Eigenfrequenzen und Eigenformen entspricht
der Anzahl der Bewegungsfreiheitsgrade.
Hat das System Bewegungsmöglichkeiten, die keine Federverformung erfordern, so gibt es zugehörig Eigenfrequenzen, die 0 sind.
Neben der Visualisierung der Eigenformen wird auch der zugehörige Eigenvektor
der dargestellten Schwingungsform ausgegeben. Dabei wird eine Verschiebungskomponente
in x-Richtung mit u und eine Verschiebungskomponente in y-Richtung mit v
bezeichnet.
Die Schwingungssimulation der jeweiligen Eigenform erfolgt hier immer mit der gleichen Frequenz, damit man die Eigenformen besser erkennen kann.
Symmetrie/Antimetrie
Bei symmetrischen Modellen sind alle Eigenformen entweder symmetrisch oder antimetrisch. Voraussetzung ist dabei vollständige
Symmetrie hinsichtlich Lagerung, Steifigkeiten, Massen und der Geometrie des Modells.
Bei den symmetrischen Eigenformen erfolgen Bewegungen beidseits der Symmetrieebene
gleichsinnig, wenn sie parallel zur Ebene sind und gegenläufig, wenn sie senkrecht zur Symmetrieebene
sind. Massen in der Symmetrieebene bewegen sich nur in der Ebene.
Bei den antisymmetrischen Eigenformen erfolgen Bewegungen beidseits der Symmetrieebene
gegenläufig, wenn sie parallel zur Ebene sind und gleichsinnig, wenn sie senkrecht zur Symmetrieebene
sind. Massen in der Symmetrieebene bewegen sich nur senkrecht zur Ebene.
Starrkörperfreiheitsgrade
Modelle mit Starrkörperfreiheitsgraden haben eine entsprechende Anzahl von Eigenwerten, die Null sind.
Die zugehörigen Eigenformen sind die Starrkörperbewegungen.
Hat ein System einen translatorischen Starrkörperfreiheitsgrad, so erfolgen die Schwingbewegungen der
Eigenformen mit Eigenfrequenzen ungleich Null stets so, dass der Gesamtschwerpunkt des Systems in
Richtung der Starrkörperfreiheitsgradachse liegen bleibt. Das kann man über den Impulserhaltungssatz erklären.
Die Matrizen der Aufgabenstellung
Die Eigenkreisfrequenzen werden aus einer Gesamtsteifigkeitsmatrix K und einer Gesamtmassenmatrix M bestimmt.
Die Gesamtmassenmatrix ist nur diagonal belegt und zwar anfänglich an den Stellen m2i,2i und m2i-1,2i-1
mit der Punktmasse des i-ten Punktes. Sind Punkte gelagert, werden später die zugehörigen Zeilen und Spalten in den Gesamtmatrizen entfernt.
Die Gesamtsteifigkeitsmatrix entsteht mit Hilfe von Federelementmatrizen, die von der
Federsteifigkeit k der Feder und dem Relativlagewinkel φ der Feder bezüglich der
globalen, positiven x-Achse abhängen. Eine derartige Federelementmatrix hat die folgende Belegung:
cos2(φ) cos(φ)sin(φ) -cos2(φ) -cos(φ)sin(φ)
Kf = k ( cos(φ)sin(φ) sin2(φ) -cos(φ)sin(φ) -sin2(φ) )
-cos2(φ) -cos(φ)sin(φ) cos2(φ) cos(φ)sin(φ)
-cos(φ)sin(φ) -sin2(φ) cos(φ)sin(φ) sin2(φ)
Mit Hilfe der Gesamtsteifigkeitsmatrix K und der Gesamtmassenmatrix M wird dann das Eigenwertproblem
(-ω2 M + K) u = 0.
gelöst.
Vorlasteinfluss des Eigengewichts
Normalerweise muss das Eigengewicht bei der Eigenschwingungsanalyse nicht berücksichtigt werden, weil es im Wesentlichen die Federn nur auf einen
anderen Arbeitspunkt bringt, um den herum dann die Schwingbewegungen erfolgen.
Sollen Systeme untersucht werden, bei denen Rückstellkräfte durch die Erdanziehung eine zentrale Rolle spielen, wie bei Pendeln aller Art, so muss
man die Berücksichtigung dieses Zusatzeffektes anwählen. Dazu ist bei der Federeingabemaske ein Haken zu setzen.
Dann wird für alle Federn zusätzlich zur normalen Federelementmatrix noch eine sogenannte geometrische Steifigkeitsmatrix erstellt, die die Vorspannkräfte
in den Federn berücksichtigt.
.en
Spring-Mass System Vibrations
The program calculates eigenfrequencies and mode shapes of Spring-Mass Systems.
The mode shapes are visualized.
Masses here are points masses, they don't have mass moment of inertia.
Each point mass in the plane has 2 DOF (degrees of freedom). Therefore a system of n point masses has at maximum
2*n DOF.
Due to bearings the system will loose a certain amount of DOFs.
The number of eigenvalues that can be calculated equals the number of degrees of freedom of the system analized.
In case the system has posibilities to move without spring deformation, there will be corresponding eigenfrequencies 0.
The calculated Eigenvectors have 2 components for each node.
u ist the x-displacement and v the y-displacement for the points in the mode shape.
.es
Vibraciones de Sistemas Masa-Resorte
El programa calcula frecuencias propias and modos propios de sistemas masa-muelle con múltiples grados de libertad.
Vizualisa vibraciones libres en los modos propios.
Masas aquí son masas puntuales, no tengan momentos de inercia.
Masas puntuales en el plano tienen 2 GdL (grados de libertad). Por eso un sistema con n masas puntuales tiene 2*n GdL máximo.
Debido a soportes el sistema perde unos GdLs.
El número de valores propios que se pude calcular es igual al numero de grados de libertad del sistema.
En caso de que el sistema tiene posibilidad de mover sin deformación de muelles, hay un modo propio con frecuencia correspondiente 0.
Los vectores propios tienen 2 entradas para cada nodo.
u es el x-desplazamiento y
v es el y-desplazamiento de un punto en los modos propios.
.fr
Vibrations des systèmes masse-ressort
Le programme calcule les fréquences propres et les modes propres des systèmes masse-ressort à plusieurs degrés de liberté.
Vibrations gratuites Vizualisa dans ses propres modes.
Les masses ici sont des masses ponctuelles, n’ont pas de moments d’inertie.
Les masses ponctuelles dans le plan ont 2 GdL (degrés de liberté). C'est pourquoi un système avec n masses ponctuelles a 2 * n GdL maximum.
En raison de la prise en charge, le système perd des GdL.
Le nombre de valeurs propres pouvant être calculées est égal au nombre de degrés de liberté du système.
Si le système a la possibilité de se déplacer sans déformation des ressorts, il existe un mode approprié avec la fréquence 0 correspondante.
Les vecteurs propres ont 2 entrées pour chaque nœud.
u est le x-déplacement et
v est le déplacement en y d'un point dans les modes appropriés.