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Berechnung von ebenen Starrkörper-Systemen und Fachwerken

Mit diesem Programm kann man ebene Starrkörper und ebene Systeme von Starrkörpern untersuchen.
Ergebnis der Berechnungen sind Lagerreaktionen und, bei Systemen, die Zwischenreaktionen an den Koppelgelenken.
Erforderliche Schritte beim Erstellen eines neuen Modells:

Hinweise zu den Eingabemasken

Das Programm verwendet keine Dimensionen für Kräfte bzw. Längen. Es liegt beim Anwender konsistente Daten einzugeben, z.B. alle Koordinaten in m, alle Kräfte in N und Momente in Nm.
Die Tabellen für Punkte, Lasten und Randbedingungen sind für maximal 20 Punkte ausgelegt.
Deren Nummer ist als Zeilenindex jeweils angegeben.
Die Tabelle für die Körper ist auf maximal 37 Körper begrenzt. Hier steht die Körpernummer als Index vor der jeweiligen Zeile.
Bei jedem Körper wird durch die Liste von Zahlen in der jeweiligen Zeile festgelegt, welche Knotenpunkte zum Körper gehören.
Die Kopplung der Körper (mit einem Gelenk) untereinander erfolgt einfach durch einen gemeinsamen Knotenpunkt.
Die Lagerung kennt nur Fest- und Loslager, die man durch setzen von Häkchen für die gefesselten Orte festlegen kann. Mit einer optionalen Winkelangabe α (in Grad) kann man dann die Lager noch ausrichten.
Bei der Punkte- und Lasteingabe kann man für die einzelnen Angaben Berechnungsausdrücke verwenden. Diese können auch auf die Werte in der jeweiligen Tabelle zugreifen, z.B. x1 als x-Koordinate von Punkt 1 oder F1x als x-Koordinate der Kraft bei Punkt 1.

Eingabemöglichkeiten mit der Maus

Bei den Punktkoordinaten ist es möglich durch Doppelklick einen neuen Punkt anzulegen und durch Klickziehen Punkte zu verschieben.
Bei den Körperdaten kann man neue Körper anlegen, indem man die zugehörigen Punkte anklickt. Die Liste wird durch Doppelklick auf den letzten Punkt abgeschlossen.

Hinweise zu den Ergebnissen

Für jeden Körper werden in der Regel alle seine Gelenkkräfte ausgegeben, in xy-Komponeneten zerlegt. Körper mit nur 2 Gelenkpunkten ohne weitere Belastung werden gesondert behandelt. Es handelt sich dann ja um Pendelstäbe und für diese wird nur die übertragene Kraft ausgegeben. Kräfte kleiner 0 sind dabei Druckkräfte.
Bei Fachwerken (diese bestehen vollständig aus Körpern mit jeweils 2 Endgelenken) wird ferner farblich unterschieden, ob es sich um einen Zug-Stab (blau), oder Druck-Stab (rot) handelt.
Zusätzlich kann man bei der Ergebnisausgabe die einzelnen Körper anklicken um ihre Reaktionskräfte zu visualisieren.

Hinweise zur Berechenbarkeit der Systeme

Damit das Programm für eine beliebige Belastung eine Lösung errechnen kann, muss das System die notwendige Bedingung für statische Bestimmtheit erfüllen. Statische Bestimmtheit sichert nämlich, dass das System mit einem minimalen Aufwand von inneren und äußeren Zwängen vollständig gefesselt ist.
Bei n Körpern und damit 3n möglichen Gleichgewichtsbedingungen, a Auflagerreaktionen und z Zwischenreaktionen (inneren Reaktionen zwischen den Körpern) muss gelten:
3n = a + z.
Im Falle von Fachwerken wird Gleichgewicht nicht an Körpern sondern an den Fachwerksknoten gefordert. Das liefert jeweils zentrale Kräftesysteme mit 2 Gleichungen. Bei k Fachwerksknoten, a Auflagerreaktionen und s Stäben und somit s Stab-Reaktionskräften muss dann gelten:
2k = a + s.
Gibt es mehr Reaktionen als Gleichungen, so ist das System statisch unbestimmt und lässt sich definitiv nicht als Starrkörpersystem untersuchen.
Gibt es weniger Reaktionen als Gleichungen, so ist das System kinematisch unbestimmt. Je nach Art der Belastung kann dann jedoch Gleichgewicht möglich sein oder auch nicht.

Das Gleichungssystem des Starrkörperprogramms

Es wird hier ein lineares Gleichungssystem erstellt.
Pro Körper hat das System 3 Gleichungen (2 Kräftegleichgewichtsbedingungen und 1 Momentengleichgewicht).
Zusätzlich gibt es pro Gelenk 2 Kräftegleichgewichtsbedingungen. Diese fordern, dass die Summe aller am einem Gelenk angeifenden Kräfte Null ist.
Belastungen werden, wenn Sie an Gelenken angreifen, in den Gelenkbilanzen berücksichtigt, andernfalls werden sie in den Körperbilanzen berücksichtigt.
Für ein jedes Loslager wird dann noch eine zusätzliche Kraftbedingung bereitgestellt, die im einfachsten Falle die Kraft in Richtung der Gleitebene zu Null setzt.

Unbekannte des Gleichungssystems sind die Gelenkkräfte eines jeden Körpers (2 pro Gelenk), die für jeden Körper unabhängig angelegt werden, sowie die Lagerkräfte eines jeden Lagers (2 pro Lager).

Beispielsweise ergibt das bei einem einzelnen Körper mit Loslager/Festlager:

3 Gleichungen Körpergleichgewicht
2*2=4 Gleichungen Gelenkgleichgewicht
1 Gleichung zum Nullsetzen der einen Loslagerkraftkomponente.

Unbekannte gibt es 2*2 Gelenkkkräfte am Körper und 2*2 Gelenkkräfte an den Lagern.

Es gibt hier somit 8 Gleichungen zur Bestimmung für die 8 Unbekannten.

Bei Rechnung "von Hand" würde man nur 3 Gleichungen erstellen und daraus die 3 Lagerreaktionen bestimmen. Das Starrkörper-Programm kann aber auch für Starrkörpersysteme verwendet werden, bei denen ggf. an einem Gelenk mehr als 2 Körper angeschlossen sind.
Daher ist der Umweg über die unabhängige Einführung von Kräften an jedem Körper und Lager erforderlich.

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Calculations for Rigid Body Systems and Truss Frame Works

Calculated are bearing forces and forces at joints between bodies.
Necessary to set up a new model: If a point belongs to 2 bodies it will automatically become a joint.
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Calculo de Mecánica de Cuerpos Rígidos y de Estructuras Articuladas

El programa calcula fuerzas en los soportes y fuerzas de reacción interna.
Para iniciar un modelo nuevo se necesita: Puntos que se encuentran en la lista de 2 cuerpos automaticalmente se ponen articulaciónes entre estos cuerpos.
.fr en cours ...