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Plattenschwingungen

Eine elastische, massebehaftete Platte kann quer zu ihrer Erstreckungsebene freie Schwingungen machen, die hier untersucht werden.
Für die FEM-Rechnung wird das DKT- (Diskrete Kirchhoff Theory) Element nach Batoz verwendet. Es ist nur für dünne Platten geeignet.
Mit diesem FEM-Dreieckselement werden die Eigenfrequenzen und zugehörigen Eigenformen bestimmt. Auch erfolgt eine Schwingungssimulation der Platte in ihren Eigenformen.

Grundsätzlich sind bei freien Schwingungen von elastischen Strukturen nur bestimmte Formen und Frequenzen möglich, so genannte Eigenformen mit den zugehörigen Eigenfrequenzen. Bei einer elastischen Struktur mit verteilten Massen und Steifigkeiten gibt es allerdings unendlich viele solcher Eigenfrequenzen.
Da häufig nur wenige dieser, nämlich die jeweils niedrigsten, Eigenfrequenzen von Interesse sind, kann man bei der Berechnung auf die höheren Eigenfrequenzen verzichten.
Die Beschränkung auf wenige der unteren Eigenfrequenzen ist aus mehreren Gründen sinnvoll. Zum einen steigt der Rechenaufwand bei Verwendung von Modellen mit vielen Freiheitsgraden schnell an. Ferner werden die mit FEM bestimmten Eigenfrequenzen mit steigender Ordnung zunehmend ungenauer. Das Modell ist für sie in der Regel zu steif.
Auch sind die Eigenformen der höheren Eigenfrequenzen für die reale Struktur schwerer anzuregen. Sie werden obendrein durch Strukturdämpfung stärker gedämpft.

Zur Definition des jeweiligen Problems sind hier im Wesentlichen 2 Schritte notwendig. Zuerst muss die Plattengeometrie festgelegt werden. Sie muss durch einen geschlossenen Polygonzug der Randpunkte festgelegt werden.
Dann müssen noch entlang des Randes die Bereiche angegeben werden, an denen die Platte Lagerungsbedingungen hat: Wenn keine Lagerungsbedingungen angegeben werden, werden die Eigenfrequenzen und Eigenformen der ungefesselten Platte bestimmt. Dann sind stets Starrkörpereigenformen mit Eigenfrequenz 0 vorhanden. Das sind natürlich keine Schwingungseigenformen, auch wenn sie hier durch Bewegung dargestellt werden.

Warum sind Eigenfrequenzen von Strukturen von Interesse?

Wenn man eine elastische Struktur zu Schwingungen anregt, ergeben sich Schwingungen, die man als Überlagerung aller ihrer Eigenschwingungsformen darstellen kann. Dabei dominieren die Eigenformen, deren zugehörige Eigenfrequenz in der Nähe der Anregungsfrequenz liegt. Erregt man eine Struktur mit einer ihrer Eigenfrequenzen, so ergeben sich in der Regel sehr starke Antwortamplituden.

Das ist in der Regel unerwünscht, so dass man bei Kenntnis der Eigenfrequenzen gezielt versuchen sollte, eine Anregung dieser Frequenzen zu vermeiden.

Rechengenauigkeit und Netzfeinheit

Das im Programm verwendete Dreieckselement basiert auf einem kubischen Verschiebungsansatz nach Batoz. Die Visualisierung interpoliert der Einfachheit halber aber nur linear innerhalb eines jeden Elementes. Deshalb gibt es an den Elementgrenzen Knicke, die aber nicht der Modellgüte entsprechen.
Für eine "schöne" Darstellung muss man daher, je nach Ordnung der gewünschten Eigenform, eine bestimmte Mindestanzahl an Knoten vorgeben. Die automatische Netzgenerierung nimmt dann eine Triangulierung des Gebietes vor, so dass in etwa die gewünschte Anzahl von Knoten verwendet wird.
Mit steigender Anzahl an Knoten und somit auch Elementen steigt im Allgemeinen auch die Güte der Berechnungsergebnisse. Dieses um so mehr, je kleiner die Ordnung des zu berechnenden Eigenwertes ist. Eigenwerte höherere Ordnung sind hingegen stets stärker fehlerbehaftet.
Im Vergleich zu Spannungsberechnungen benötigt man bei Eigenfrequenzberechnungen in der Regel nicht so feine Netzunterteilungen.
Weil der Rechen- und damit Zeitaufwand mit der angeforderten Anzahl von Eigenwerten stark zunimmt, lässt man in der Regel nur eine bestimmte Anzahl der unteren Eigenwerte berechnen.
Eigenformen der Eigenwerte höherer Ordnung realer Strukturen lassen sich in der Regel ohnehin schwer anregen, weil sie stärker durch die innere Strukturdämpfung gedämpft werden.
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Plate Bending Vibrations

By means of the Finite Element Method (FEM) eigenfrequencies and mode shapes of arbitrarily shaped plates are calculated.
A DKT- (Diskrete Kirchhoff Theory) element is used.

To define the plate 2 steps are necessary.
First the geometry must be defined. A closed polygon defined by its corner points will do for that.
Second all parts of the border that are fixed must be defined.
If there is no bearing at all, eigenfrequencies and mode shapes of a free plate are calculated. Then rigidbody motion mode shapes are possible resulting in corresponding eigenfrequencies 0.
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Vibraciones libres de Placas

Este programa calcula por medio de Finite Element Method (FEM) frecuencias propias y modos propios para placas de cualquier forma.
Usa un DKT- (Diskrete Kirchhoff Theory) elemento.

Para definir una placa se debe hacer 2 pasos.
Al primero se define la geometria para una lista de puntos del borde.
Al segundo se debe definir puntos soportados.
Si no hay soportes, frecuencias propias and modos propios para una placa libra son calculado.
Entonces modos propios del cuerpo rigido son posible con frecuencia propia 0.
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Vibrations libres de la plaque

Au moyen de la méthode des éléments finis (FEM), les fréquences propres et les formes de mode de plaques de forme arbitraire sont calculées.
Utilisez un élément DKT-(Diskrete Kirchhoff Theory).

Pour définir une plaque, vous devez effectuer 2 étapes.
Le premier définit la géométrie d'une liste de points sur le bord.
La seconde doit définir les points pris en charge.
S'il n'y a pas de support, les fréquences propres et les modes appropriés pour une plaque libre sont calculés.
Ensuite, les modes propres du corps rigide sont possibles, avec fréquence propre 0.