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Ebener Spannungszustand in der Scheibe

Es wird der ebene Spannungszustand einer Scheibe mit der Methode der finiten Elemente (FEM) untersucht.
Verwendet wird dabei das Dreieckselement mit linearen Ansatzfunktionen.

Die Belastung der Scheibe hängt von den Gegebenheiten der Lagerung und Belastung ab. Diese können segmentweise vorgegeben werden durch: Als Ergebnisse kann man dann Darstellungen der folgenden Feldgrößen gewinnen: Da das Programm intern den E-Modul auf 210000N/mm2 setzt, müssen alle Längenangaben in mm gemacht werden. Die Spannungen entstehen dann auch in N/mm2.
Die Belastungen am Rand sind dementsprechend als verteilte Lasten zu verstehen und in N/mm2 anzugeben. Einzelkräfte gibt es nicht. Man muss sie ggf. auf einen kleinen Randbereich wirken lassen. Hat der Randbereich die Länge l und die Scheibe die Dicke t, dann ist die einer Einzellast F entsprechende Beanspruchung F/(t*l). Die Scheibendicke t wird sonst weiter nicht benötigt.

Lineare Ansatzfunktionen - was bedeutet das?

Der Spannungszustand einer Scheibe hängt von den ersten Ableitungen der Verschiebungsgrößen u(x,y) und v(x,y) ab. Bei finiten Elementen sind diese Verschiebungsgrößen innerhalb der Elemente durch die verwendeten Ansatzfunktionen bestimmt. Das hier verwendete Element mit linearen Ansatzfunktionen hat daher elementweise konstante Spannungen. Es liefert nur bei sehr feiner Unterteilung quantitativ brauchbare Ergebnisse.

Spannungen und Vergleichsspannungen

Die Spannungen im Bauteil sind in der Regel für die Belastungsanalyse eines Bauteils wenig aussagekräftig, weil sie von der Ausrichtungs des xy-Koordinatensystems abhängen. Um sich davon zu befreien und letztlich auch einen einzigen Spannungswert pro Punkt im Material zu bekommen nimmt man bestimmte Versagenshypothesen und berechnet für diese sogenannte Vergleichsspannungen. Eine der am häufigsten verwendete Hyphothese ist die, dass die Gestaltänderungsenergie bestimmend für das Versagen ist. Die hiermit errechneten Vergleichsspannungen nennt man von Mises-Vergleichsspannungen.

Knotenspannungen - Spannungsmittelung

Weil bei Elementen mit linearem Ansatz die Spannungen elementweise konstant sind, müsste die Darstellung der Spannungen eigentlich treppenartige Verläufe ergeben. Gewöhnlich, wie auch hier, mittelt man Spannungen aber über die Nachbarelemente einzelner Knoten und gewinnt so Knotenspannungen, die dann wieder innerhalb des Elementes linear veränderlich dargestellt werden.

Spannungssingularitäten

In der Nähe von einspringenden Ecken sind die Spannungen am größten. Es macht jedoch in der Regel keinen Sinn diese Eckspannungen quantitativ zu interpretieren. Wenn die Ecken nicht verrundet werden, kann man hier jeden beliebigen Wert produzieren. Theoretisch gehen die Spannungen in unverundeten einspringenden Ecken gegen unendlich.

Randspannungen

Einen Test hinsichtlich der Brauchbarkeit der Ergebnisse liefern die Spannungen unbelasteter, freier (weder Lasten noch Einspannungen!) Randbereiche. An solchen Bereichen müssen die Randnormalspannungen und die Randtangentialspannungen theoretisch Null werden.
An Rändern mit äußerer Belastung muss die Spannung im Bauteil die Spannungswerte der Belastung annehmen.
Dieses ist dem hier verwendeten Element nur bei sehr feiner Unterteilung näherunsweise möglich.

Symmetrienutzung

Symmetrische Bauteile mit zur Symmetrieebene des Bauteils symmetrischer Belastung und Lagerung haben einen symmetrischen Verschiebungszustand.
Das bedeutet, dass für 2 symmetrisch gelegene Punkte die Verschiebungskomponenten parallel zur Symmetrieebene beidseitig gleich sind. Die Verschiebungskomponenten senkrecht zur Symmetrieebene sind betragsmäßig gleich aber entgegen gesetzt orientiert.
Die Normalspannungen sind ebenfalls beidseitig der Symmetrieebene gleich, die Schubspannungen sind nur betragsmäßig gleich.

Man kann daher eine in jeder Hinsicht symmetrische Belastungssituation dadurch untersuchen, dass man die eine Hälfte weglässt und in der Symmetrieebene spezielle Symmetrielagerungsbedingungen setzt. Diese müssen Verschiebungen senkrecht zur Symmetrieebene unterdrücken.
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Flat stress state in the disc

The plane stress state of a disc is investigated using the Finite Element Method (FEM).
The triangular element is used with linear approach functions.

The load on the disc depends on the conditions of the bearing and load. These can be specified in segments by: As results, one can then obtain representations of the following field sizes: Since the program internally sets the Young modulus to 210000N/mm2, all the lengths must be supplied in mm. The stresses are then also generated in N/mm 2.
The loads on the edge are accordingly to be understood as distributed loads and to be specified in N / mm 2 . There are no individual forces. You may have to let them have a small edge area. If the edge region has the length l and the disk has the thickness t, then the stress F / (t * l) corresponding to a single-point load F is. The disk thickness t is otherwise not required.

Linear approach functions - What does that mean?

The stress state of a disk depends on the first derivatives of the displacement variables u (x, y) and v (x, y). In the case of finite elements, these displacement variables within the elements are determined by the approach functions used. The element with linear approach functions used here therefore has constant stress in each element. It yields quantitatively useful results only with very fine subdivision.

Stresses and Reference Stresses

The stresses in the component are usually of little significance for the load analysis of a component because they depend on the alignment of the xy-coordinate system. To get rid of it and finally to obtain a single stress value per point in the material, one takes certain failure hypotheses and computes for this so-called equivalent stresses. One of the most frequently used hyphotheses is that the shape-change energy is determinant for the failure. The calculated comparative stresses are called Mises reference stresses.

Node stresses

Because for elements with a linear approach, the stresses are constant in each element the representation of the stresses actually lead to stairs-like courses. Usually, as also here, one averages but over the neighboring elements of individual nodes and thus gains node stresses, which are then again linearly variable within the element being represented.

Stress Singularities

The tensions are greatest in the vicinity of re-entrant corners. However, it usually makes no sense to quantitatively interpret these corner stresses. If the corners are not rounded, you can see here any value. Theoretically, the tensions in unbroken rebounding corners go infinitely.

Edge Stresses

A test of the usefulness of the results provides the stresses of unstressed, free (neither loads nor constraints!) border areas. At such areas, the edge normal voltages and the edge tangential voltages must theoretically become zero.
At external load edges, the voltage in the component must take the stress values ​​of the load This is possible to the element used here only with very fine subdivision.

Symmetry usage

Symmetrical components with symmetrical load and bearing symmetrical to the symmetry plane of the component have a symmetrical state of displacements.
This means that for 2 symmetrically located points the displacement components are parallel on both sides parallel to the symmetry plane. The displacement components perpendicular to the plane of symmetry are equal but oppositely oriented. The normal stresses are also the same on both sides of the symmetry plane. Shear stresses values are absolutely equal but they are of opposite sign. It is therefore possible to investigate a symmetrical stress situation by omitting the one half of the problem and use specific symmetry conditions. These must suppress displacements perpendicular to the plane of symmetry.
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