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Freie Schwingungen von Rahmen und Wellen

Freie Schwingungen elastischer Strukturen erfolgen mit bestimmten Eigenfrequenzen. Die Struktur verformt sich dabei gemäß der zugehörigen sogenannten Eigenformen.
Theoretisch existieren bei elastischen Strukturen unendlich viele Eigenfrequenzen und Eigenformen. Allerdings sind die höheren Eigenfrequenzen normalerweise durch Werkstoffdämpfung stärker gedämpft und klingen somit viel schneller ab.

Da für komplexe Strukturen keine analytische Bestimmungsmöglichkeit der Eigenfrequenzen existiert, verwendet man hier numerische Näherungslösungen auf Basis der Methode der finiten Elemente (FEM).
Dazu müssen für die Wellen- bzw. Rahmensegmente Steifigkeits- und Massenmatrizen formuliert werden.
In Abhängigkeit der verwendeten Knotenanzahl des Modells kann man dann eine bestimmte Anzahl der niedrigsten Eigenfrequenzen und zugehörigen Eigenformen näherungsweise bestimmen.

Das Programm bestimmt alle im jeweiligen Modell möglichen Eigenfrequenzen.
Es gilt aber dabei zu bedenken, dass nur die niedrigsten der errechneten Eigenfrequenzen brauchbare Näherungen darstellen.
Je höher die Ordnung der errechneten Eigenfrequenz umso schlechter wird in der Regel diese Näherung.
Die Schwingungssimulation der Eigenformen des Tragwerks erfolgt hier stets mit der gleichen Frequenz.

Elemente, Knoten und Systemfreiheitsgrade

Die Balkenelemente, die hier verwendet werden, haben an den beiden Enden Knoten. Benachbarte Elemente haben einen gemeinsamen Knoten und sind hier hinsichtlich der Verschiebungen u und v sowie des Verdrehwinkels β gleichgeschaltet. Im Falle, dass diesen Freiheitsgraden der Knoten auch Massen hinterlegt sind, sind sie Systemfreiheitsgrade. Die Anzahl dieser Systemfreiheitsgrade bestimmt die Anzahl möglicher Eigenfrequenzen.

Was beeinflusst die Güte der Berechnungsergebnisse?

Grundsätzlich kann man Wellen oder Rahmen zwar mit wenigen Elementen modellieren. Die Eigenfrequenzen werden aber umso genauer bestimmt, je mehr Elemente man im Gesamtmodell verwendet. Mit steigender Knotenzahl steigt dann gleichzeitig auch die Anzahl berechenbarer Eigenfrequenzen. Allerdings sind die jeweils höheren Eigenfrequenzen stark fehlerbehaftet bis unbrauchbar.

Modelle ohne Balkenmasse

Für Rechnungen von Hand wird bei Wellen häufig die Wellenmasse gegenüber den auf ihr sitzenden Massen vernachlässigt. Dieses kann man hier dadurch erreichen, dass man die Wellen-Dichte auf 0 setzt. Dadurch verringert sich die Anzahl der berechenbaren Eigenfrequenzen um die Anzahl der Systembewegungsfreiheitsgrade, denen dann keine Masse mehr zugeordnet ist.

Punktmassen oder Massen mit Trägheitsmoment

Man kann die an auf dem Rahmen plazierten Massen mit und ohne Massenträgheitsmoment angeben. Im ersten Falle haben die Massen maximal 2 Freiheitsgrade der Bewegung im zweiten Falle maximal 3 Freiheitsgrade.
Durch Lagerung kann sich diese Maximalanzahl und damit auch die Anzahl zugehöriger Eigenfrequenzen reduzieren.

Gelenke zwischen den Elementen

Alle Balkenelemente sind normalerweise ecksteif miteinander verbunden. Man kann allerdings auch Gelenke zwischen den Balkenelementen einführen, indem man spezielle Elemente verwendet, die keinen Verdrehfreiheitsgrad am Ende haben. Bei der Elementeingabe exisitert hierfür die dritte Spalte für den Typ:
Anfang bzw. Ende wird dabei über die Reihefolge der Endpunktnummern zugeordnet. Die erste Endpunktnummern markiert den Elementanfang.

Wieviele Eigenfrequenzen hat ein Modell?

Die Anzahl hängt ab von der Anzahl der Hauptdiagonalelemente der Massenmatrix, die ungleich Null sind.

Werden die Balkenelemente als masselos modelliert, so bringt eine Punktmasse 2 Diagonalelemente und eine Massendrehträgheit bringt zusätzlich ein weiteres Diagonalelement. Pro Masse sind das maximal 3 Diagonalelemente, ggf. vermindert um die Anzahl von lokalen Freiheitsgraden, die infolge einer Lagerung entfallen.

Werden die Balkenelemente als massebehaftet modelliert, so hat jeder Knoten, an dem mindestens ein solches massebehaftetes Balkenelement angeschlossen ist, unabhängig von vorhandenen Einzelmassen ebenfalls 3 Diagonalelemente zur Folge, ggf. vermindert um die Anzahl der Freiheitsgrade, die hier infolge einer Lagerung entfallen.

D.h. ein Modell mit massebehafteten Balkenelementen hat in der Regel mehr Diagonalelemente in der Massenmatrix und somit mehr berechenbare Eigenfrequenzen
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Free vibrations of spindels and frames

The models here are based on Finite Elements.
For each element its 2 nodes can be configured by its "type":
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Vibraciones libres de armazones y ejes

Este programa usa modelos con elementos finitos.
Cada elemento se puede configurar por su tipo:
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