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Verallgemeinertes Eigenwertproblem
Die Untersuchung der freien, ungedämpften Schwingungen von linearen Schwingern mit mehreren Freiheitsgraden führt stets auf ein Bewegungsdifferentialgleichungssystem der Form
M x°° + K x = 0.
Dabei ist M die Massenmatrix, K die Steifigkeitsmatrix und x ist der Vektor der Systemfreiheitsgrade.
Mit Hilfe des komplexen Ansatzes für harmonische Schwingungen x(t)=u eiωt erhält man dann das homogene lineare Gleichungssystem
(-ω2 M + K) u = 0.
Gesucht sind die Eigenkreisfrequenzen ωi, für die das homogene Gleichungssystem
nichttriviale Lösung ui liefert, sowie diese nichttrivialen Lösungen. ui sind die Eigenvektoren des Systems.
Sie beschreiben die Form, mit der das System bei der jeweiligen, zugeordneten Eigenkreisfrequenz ωi schwingt.
Man spricht hier auch vom verallgemeinerten Eigenwertproblem, weil nicht
die Eigenwerte einer Matrix sondern die Eigenwerte des Matrizenpaars M und K
zu bestimmen sind.
Das Programm ermöglicht die Bestimmung der Eigenwerte λ= ω2 und Eigenvektoren
von Paaren symmetrischer(!) Matrizen M und K, so wie sie ja auch häufig in der Maschinendynamik untersucht werden.
Aus energetischen Überlegungen (s.u.) folgt, dass bei einer physikalisch sinnvollen Aufgabenstellung die
Massenmatrix positiv definit und die Steifigkeitsmatrix positiv semidefinit sein muss. Man kann hier also nicht beliebige
Daten eingeben und erwarten, dass dazu Lösungen bestehen.
Zu den Beispielen
Die als Beispiele hinterlegten 3-Massenschwinger haben 3 gleiche Massen und sind untereinander
über gleichartige Federn gekoppelt. Zusätzlich ist bei den gefesselten Schwingern die erste bzw. die erste und
dritte Masse mit der Umgebung verbunden. Dadurch sind Starrkörperbewegungen nicht möglich.
Nur das ungefesselte dritte Beispiel kann Starrkörperbewegungen machen und hat daher 0 als zugehörige Eigenfrequenz.
Bei einigen Beispielen wurde der Einfachheit halber als Massenmatrix die Einheitsmatrix verwendet. Einige Beispiele zeigen aber, dass die Massenmatrix nicht notwendigerweise diagonal
belegt sein muss. FEM-Modelle liefern häufig Massenmatrizen mit Nebendiagonalelementen.
Positiv definite Matrizen
Eine Matrix A ist positiv definit, wenn für jeden Vektor y≠0 gilt
yT A y > 0.
Eine Matrix A ist positiv semidefinit, wenn für jeden Vektor y≠0 gilt
yT A y ≥ 0.
Notwendig, aber nicht hinreichend, für positive Definitheit einer Matrix A ist, dass alle Diagonalelemente aii>0 sind.
Hat eine Matrix nur positive Diagonalelemente und ist die Summe der Beträge der Nebendiagonalelemente einer jeden Zeile kleiner als das Diagonalelement in dieser Zeile (diagonaldominante
Matrix), dann ist sie positiv definit.
Die Formänderungsenergie für ein mechanisches System, das die Steifigkeitsmatrix K hat, ist
für einen Verschiebungszustand u gegeben durch 1/2uT K u.
Beschreibt u eine Verformung des Systems, so kann diese Formänderungsenergie nur positive Werte annehmen.
Beschreibt u eine Starrkörperverschiebung, ist die zugehörige Formänderungsenergie gleich 0.
Kleiner als 0 kann sie nicht werden.
Somit ist klar, dass die Steifigkeitsmatrix positiv semidefinit sein muss.
Ferner ist die kinetische Energie eines mechanischen Systeme durch
1/2u°T M u° gegeben.
Auch die kinetische Energie kann für jeden denkbaren Zustand mit Geschwindigkeiten u°≠0 nie negativ
werden. Null könnte die kinetische Energie nur werden, wenn ein Systemfreiheitsgrad massefrei wäre.
Wenn jedem der Systemfreiheitsgrade Masse zugeordnet ist, ist
die Massenmatrix M demzufolge positiv definit.
.en
Generalized Eigenvalue Problem Solver
The investigation of free non damped vibrations of linear systems with multi degrees of freedom leads to a system of differential equations of the form
M x°° + K x = 0.
M is the mass matrix, K is the stiffness matrix and x is the vector of the system coordinates.
Using a complex approach for harmonical vibrations x(t)=u eiωt we get a homogenous linear system of equations:
(-ω2 M + K) u = 0.
Unknown are the Eigenfrequencies ωi, for which this homogenous system of equations has
non trivial solutions ui, and these solutions. ui are the Eigenvectors of the system.
They describe the form of free vibrations of the system vibrating at eigenfrequency ωi.
This Java-Application calculates the Eigenvalues λ=ω2 and corresponding Eigenvectors
for pairs of symmetrical(!) matrices M and K.
.es
Problema de Valor Propio Generalizado
Vibraciones libres de un lineal sistema con múltiples grados de libertad se describe con un sistema de ecuaciones diferenciales:
M x°° + K x = 0.
M es la matriz des masa, K es las matriz de rigidez y x es el vector de los coordenadas del sistema.
Para vibraciones usando x(t)=u eiωt obtenemos un sistema de ecuaciones lineales:
(-ω2 M + K) u = 0.
Los vectores propios ui describen la forma de vibración con las frecuencias propias ωi.
La Aplicación calcula los valores propios λ=ω2 y las vectores propios
para parejas de matrizes simétricas M y K.
.fr
Problème de valeur propre généralisé
Les vibrations libres d'un système linéaire à plusieurs degrés de liberté sont décrites avec un système d'équations différentielles:
M x°° + K x = 0.
M est la matrice de masse, K est la matrice de rigidité et x est le vecteur des coordonnées du système.
Pour les vibrations utilisant x(t)=u eiωt, nous obtenons un système d'équations linéaires:
(-ω2 M + K) u = 0.
Les vecteurs propres ui décrivent la forme de vibration avec les fréquences appropriées ωi.
L'application calcule les valeurs propres λ = ω2 et les vecteurs propres
pour des paires de matrices symétriques M y K.