.de

Stationäre Wärmeleitung mit finiten Elementen

Eines der einfachsten Feldprobleme, das man mit der Methode der finiten Elemente untersuchen kann, ist die stationäre Wärmeleitung.
Sie wird durch die Gleichung

λ (∂²T/∂x² + ∂²T/∂y²) = 0

beschrieben. λ ist die Leitfähigkeit des jeweiligen Festkörpers.
Ist λ im ganzen Gebiet konstant, erhält man die Laplace-Gleichung:

∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² = 0

Das ist eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung. Die unbekannte Feldgröße ist die Temperatur T(x,y) in einem 2-dimensionalen Gebiet.
Für eine korrekten Aufgabenstellung ist es erforderlich, dass man das Gebiet beschreibt und am Rande des Gebietes bestimmte Randbedingungen formuliert.

Die Lösung der Differentialgleichung erfolgt hier mit Hilfe von finiten Elementen. Das verwendete Element ist ein Dreieckselement mit linearem Ansatz. Das bedeutet, dass der Temperaturverlauf in jedem Dreieckselement linear (in beiden Raumrichtungen) angenommen wird. Der Wärmestrom ist dann in einem jeden Element konstant.
Der Gebietsrand besteht hier aus mehreren Liniensegmenten. Für ein jedes Segment hat man vier Möglichkeiten:
Welche Randbedingung man für den Segmentbereich zwischen 2 Punkten vorgibt, steuert man in den Eingabemasken implizit:
Gibt man nur einen Wert vor, dann ist es die Randtemperatur T (blau) oder das Temperaturgefälle ∂T/∂n (rot), je nach Spalte.
Gibt man zwei Werte vor, dann sind es Umgebungstemperatur Tu und Proportionalitätsfaktors α (magenta).
Der Proportionalitätsfaktor ist physikalisch der Quotient Wärmeübergangskoeffizient/Wärmeleitfähigkeit.

Was kann man beobachten?

Wenn man an nur einem Randsegment eine Temperatur vorgibt, oder an mehreren Randsegmenten die gleiche Temperatur, stellt sich im ganzen Gebiet die gleiche Temperatur ein.

Gibt man an verschiedenen Randsegmenten verschiedene Temperaturen vor, so stellt sich im Inneren des Gebietes ein Temperaturgefälle ein. Es liegt dann ein Wärmestrom von Bereichen mit höheren Temperaturen zu Bereichen mit niedrigeren Temperaturen vor.

Bei der Darstellung der Temperaturen stellen die Grenzlinen der einzelnen Farbbereiche Isolinien des Temperaturfeldes dar. Diese Isolinien enden normalerweise unter einem Winkel von 90° zu den Gebietsgrenzen, die keinen Wärmeübergang haben.

Zusätzlich zur Darstellung der Temperaturen ist auch die Darstellung des Wärmestroms möglich. Er ist proportional zum Gradienten des Temperaturfeldes, also ein Vektor. Die Darstellung verwendet hier den Betrag dieses Gradientenvektors als Maß für den lokalen Wärmestrom.
Der Wärmestrom ist bei linearen Ansatzfunktionen eigentlich elementweise konstant. Für eine schönere Visualisierung wird er hier geglättet dargestellt, so dass sich wieder stetige Verläufe ergeben.
Der Wärmestrom hat (ähnlich wie Spannungen in Bauteilen) an Ecken, die in das Gebiet einspringen, die Tendenz zu unendlich großen Werten (Singularität). Das wird bei Netzverfeinerung deutlich.
Man sieht ferner, dass der Wärmestrom sich mit grober Netzeinteilung viel "unruhiger" verhält, als die zugehörige Temperaturverteilung.

Was kann dieses Programm nicht?

Das Programm soll einen ersten Eindruck von Feldproblemen und im Besonderen vom Problem der Wärmeleitung liefern. Es ist daher von der Parameterversorgung einfach gehalten.
Nicht möglich sind daher

Mathematischer Hintergrund

Die Lösung von Feldproblemen, die auf partiellen Differentialgleichungen basieren, kann in den wenigsten Fällen geschlossen analytisch bestimmt werden. Daher verwendet man Verfahren, die die Lösung näherungsweise bestimmen können. Die Methode der finiten Elemente ist das wohl am häufigsten verwendete Verfahren in diesem Zusammenhang.
Sie geht von der überlegung aus, das zu untersuchende Gebiet in geometrisch einfache Teilgebiete zu unterteilen und dann die Lösung in diesen Teilgebieten durch möglichst einfache Funktionen, wie Polynome, näherungsweise zu beschreiben. Der Funktionsverlauf eines Polynoms hängt von wenigen Parametern, den Polynomkoeffizienten, ab. Man kann nun den Verlauf von Polynomen per Interpolation über die Funktionswerte an den Gebietsecken, den Knoten, ausdrücken. Man nennt die so aufbereiteten Polynome Formfunktionen oder Ansatzfunktionen. Gängige, verwendete Ansatzfunktionen sind linear oder quadratisch in den Gebietskoordianten x und y.
Der wahre Lösungsverlauf im Gebietsinneren ist allerdings in den meisten Fällen weder linear noch quadratisch, sondern viel komplexer. Sind die verwendeten finiten Elemente jedoch nicht zu groß, stellen die Polynomansätze in der Regel eine gute Näherung für den gesuchten exakten Verlauf dar.
Die Hauptaufgabe eines finiten Elementes besteht darin, den Zusammenhang zwischen den Knotenwerten des gesuchten Funktionsverlaufs für das jeweilige Feldproblem bereitszustellen.
Dieses erfordert eine mathematische Aufbereitung der Differentialgleichung, die für ein finites Element in einer Elementsteifigkeitsmatrix mündet. Diese verknüpft die Lösungen an den Knoten mit auf das Element an den Knoten aufgebrachten Lasten.
Da die einzelnen Knoten eines Gebietes in der Regel zu mehreren angrenzenden finiten Elementen gehören und hier der Lösungsverlauf somit für alle Nachbarelemente des Knotens gleiche Werte annimmt, muss man die Elememtsteifigkeitsmatrizen zu einer großen Gesamtsteifigkeitsmatrix zusammenstellen.
Es entsteht so ein Gleichungssystem, das dann noch durch Berücksichtigen der Randbedingungen leicht modifiziert werden muss.
Die Lösung dieses modifizierten Gesamtgleichungssystem sind dann die Knotenwerte der gesuchten Näherungslösung des Feldproblems.
.en

Stationary Heat Conduction and Finite Elements

Stationary Heat Conduction is one of the simplest field problems, that can be investigated by Finite Elements.
It can be discribed by the Laplace Equation

λ (∂²T/∂x² + ∂²T/∂y²) = 0.

That is a partial differential equation of second order. λ is the thermal conductivity. Unknown in this equation is the temperature T(x,y) over a 2-dimensional area.
For a complete formulation of the problem it is necessary to describe the boundary of the area and boundary conditions on that boundary.

The solution is found by means of Finite Elements. Here a triangular element with linear shape functions is used. Due to that the heat flow is constant in every element.
The boundary is composed of line segments. For each ot them there are 4 possibilities:
Which boundary condition is used is controlled indirectly:
If only one value is specified it will be temperature T (blue) or temperature gradient ∂T/∂n (red).
If two values are specified they will be interpreted as environment temperature Tu and proportionality factor α (magenta).
.es

Conducción de Calor y Elementos Finitos

Conducción estacionario de calor es un problema que se puede investigar con Elementos Finitos.
Se puede decribir lo con la ecuación

λ(x,y) (∂²T/∂x² + ∂²T/∂y²) = 0.

En caso el coeficiente de conductividad térmica λ es constante en toda la región resulta la ecuación de Laplace

∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² = 0.

Es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden. Se debe hallar la temperatura T(x,y) en una región 2-dimensional.
Ademas se debe definir una región y condiciones en la borde de la region.

La resolución se hallar por medio de Finitos Elementos. Ahi se usa elementos triangulares lineares.
Por eso flujo de calor es constante en cada elemento.
El borde de la región es compuesto de líneas. Para cada línea hay 4 posibilidades:
Se controla el tipo de borde condición indirectamente:
Si se fija solamente una especificación sera temperatura T (azul) o inclinación de la temperatura ∂T/∂n (rojo).
Si se fija dos especificaciones ellos se interpretan como temperatura ambiente Tu y proporcionalidad α (púrpura).

.fr

Conduction thermique et éléments finis

La conduction thermique stationnaire est un problème qui peut être étudié avec les éléments finis.
Vous pouvez l'écrire avec l'équation

λ(x,y) (∂²T/∂x² + ∂²T/∂y²) = 0.

Dans le cas où le coefficient de conductivité thermique λ est constante dans toute la région résulte de l'équation de Laplace

∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² = 0.

C'est une équation en dérivées partielles de second ordre. La température T (x,y) doit être trouvée dans une région bidimensionnelle.
De plus, une région et des conditions doivent être définies à la limite de la région.

La résolution se trouve dans les éléments finis. Il utilise des éléments triangulaires linéaires.
C'est pourquoi le flux de chaleur est constant dans chaque élément.
Le bord de la région est composé de lignes. Pour chaque ligne, il y a 4 possibilités:
Le type de condition de bord est contrôlé indirectement:
Si une seule spécification est définie, il s'agira de la température T (bleu) ou de l'inclinaison de la température ∂T/∂n (rouge).
Si deux spécifications sont définies, elles sont interprétées comme la température ambiante Tu et la proportionnalité α (violet).